Вычислить энергию активации реакции, у которой при повышении температуры от 30-60градусов скорость увеличивается...

Для вычисления энергии активации реакции, при которой скорость увеличивается в 3 раза при повышении температуры с 30 до 60 °C, мы можем использовать уравнение Аррениуса, которое описывает зависимость скорости реакции от температуры:

[ k = A e^{-\frac{E_a}{RT}} ]

где:

• ( k ) — константа скорости реакции,
• ( A ) — предэкспоненциальный фактор (часто считается постоянным в пределах узкого диапазона температур),
• ( E_a ) — энергия активации,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)),
• ( T ) — температура в кельвинах.

Для двух температур ( T_1 ) и ( T_2 ) можно записать соотношение:

[ \frac{k_2}{k_1} = \frac{A e^{-\frac{E_a}{RT_2}}}{A e^{-\frac{E_a}{RT_1}}} = e^{-\frac{E_a}{RT_2} + \frac{E_a}{RT_1}} = e^{\frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)} ]

Здесь ( k_2 ) — константа скорости при температуре ( T_2 ), а ( k_1 ) — константа скорости при температуре ( T_1 ).

Из условия задачи известно, что ( \frac{k_2}{k_1} = 3 ). Подставим это в уравнение:

[ 3 = e^{\frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)} ]

Теперь возьмем натуральный логарифм обеих сторон:

[ \ln(3) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) ]

Теперь подставим температуры в кельвинах. Для температур 30 °C и 60 °C:

[ T_1 = 30 + 273.15 = 303.15 \, \text{K} ] [ T_2 = 60 + 273.15 = 333.15 \, \text{K} ]

Теперь можем выразить разность обратных температур:

[ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = \frac{1}{303.15} - \frac{1}{333.15} ]

Рассчитаем это значение:

[ \frac{1}{303.15} \approx 0.003300 \, \text{K}^{-1} ] [ \frac{1}{333.15} \approx 0.003003 \, \text{K}^{-1} ]

[ \frac{1}{303.15} - \frac{1}{333.15} \approx 0.003300 - 0.003003 = 0.000297 \, \text{K}^{-1} ]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение с логарифмом:

[ \ln(3) = \frac{E_a}{R} \cdot 0.000297 ]

Значение ( \ln(3) \approx 1.0986 ). Подставим ( R = 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} ):

[ 1.0986 = \frac{E_a}{8.314} \cdot 0.000297 ]

Теперь выразим ( E_a ):

[ E_a = \frac{1.0986 \cdot 8.314}{0.000297} ] [ E_a \approx \frac{9.136}{0.000297} \approx 30750 \, \text{Дж/моль} \approx 30.75 \, \text{kJ/моль} ]

Таким образом, энергия активации ( E_a ) для данной реакции составляет примерно 30.75 кДж/моль.

Для вычисления энергии активации можно использовать уравнение Аррениуса:

[ k = A e^{-\frac{E_a}{RT}} ]

где ( k ) — константа скорости реакции, ( A ) — предэкспоненциальный фактор, ( E_a ) — энергия активации, ( R ) — универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)), ( T ) — температура в кельвинах.

Используя отношение скоростей при двух температурах:

[ \frac{k_2}{k_1} = e^{\frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)} ]

где ( k_2/k_1 = 3 ), ( T_1 = 30 + 273.15 = 303.15 ) K, ( T_2 = 60 + 273.15 = 333.15 ) K.

Подставим значения:

[ 3 = e^{\frac{E_a}{8.314} \left( \frac{1}{303.15} - \frac{1}{333.15} \right)} ]

Логарифмируем обе стороны:

[ \ln(3) = \frac{E_a}{8.314} \left( \frac{1}{303.15} - \frac{1}{333.15} \right) ]

Вычисляем разность температур:

[ \frac{1}{303.15} - \frac{1}{333.15} \approx 0.0007695 \, \text{K}^{-1} ]

Теперь подставим это значение и решим уравнение для ( E_a ):

[ E_a \approx \ln(3) \cdot 8.314 / 0.0007695 ]

После вычислений получаем:

[ E_a \approx 12,500 \, \text{Дж/моль} ]

Таким образом, энергия активации реакции составляет примерно 12.5 кДж/моль.

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением Аррениуса, которое описывает зависимость константы скорости реакции от температуры:

[ k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}} ]

где:

• ( k ) — константа скорости реакции,
• ( A ) — предэкспоненциальный множитель (зависящий от природы реагентов),
• ( E_a ) — энергия активации реакции (Дж/моль),
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R = 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — абсолютная температура (К).

1. Условие задачи

При повышении температуры от 30 °C (( T_1 = 303 \, \text{К} )) до 60 °C (( T_2 = 333 \, \text{К} )), скорость реакции увеличивается в 3 раза. Это означает, что отношение констант скорости при этих температурах равно 3:

[ \frac{k_2}{k_1} = 3. ]

2. Вывод логарифмической формы уравнения Аррениуса

Возьмем логарифм отношения констант скорости при двух температурах:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \ln\left(\frac{A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT_2}}}{A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT_1}}}\right). ]

Сократим предэкспоненциальный множитель ( A ), так как он одинаков для обеих температур, и преобразуем:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{RT_2} + \frac{E_a}{RT_1}. ]

Вынесем ( \frac{E_a}{R} ) за скобки:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right). ]

3. Подставим известные значения

Из условия задачи: ( \frac{k_2}{k_1} = 3 ), ( T_1 = 303 \, \text{К} ), ( T_2 = 333 \, \text{К} ), ( R = 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)} ). Тогда:

[ \ln(3) = \frac{E_a}{8.314} \left(\frac{1}{303} - \frac{1}{333}\right). ]

Рассчитаем логарифм:

[ \ln(3) \approx 1.0986. ]

Теперь вычислим разность обратных температур:

[ \frac{1}{303} - \frac{1}{333} = \frac{333 - 303}{303 \cdot 333} = \frac{30}{101,079} \approx 0.0002968 \, \text{К}^{-1}. ]

Подставим эти значения в уравнение:

[ 1.0986 = \frac{E_a}{8.314} \cdot 0.0002968. ]

Упростим:

[ E_a = \frac{1.0986}{0.0002968} \cdot 8.314. ]

Сначала вычислим ( \frac{1.0986}{0.0002968} ):

[ \frac{1.0986}{0.0002968} \approx 3,700. ]

Теперь умножим на ( 8.314 ):

[ E_a \approx 3,700 \cdot 8.314 \approx 30,757 \, \text{Дж/моль}. ]

4. Окончательный ответ

Энергия активации реакции составляет приблизительно:

[ E_a \approx 30.76 \, \text{кДж/моль}. ]