Константа скорости некоторой реакции при 20 °C равна 3 *10⁻² c⁻¹, а при 50 °C -0,4 c⁻¹. Вычислить энергию...

Для расчета энергии активации (Eₐ) реакции можно воспользоваться уравнением Аррениуса в логарифмической форме:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right), ]

где:

• (k_1) и (k_2) — константы скорости реакции при температурах (T_1) и (T_2) соответственно,
• (T_1) и (T_2) — абсолютные температуры (в Кельвинах),
• (R) — универсальная газовая постоянная ((R = 8,314 \, \text{Дж/(моль·К)})),
• (E_a) — энергия активации (Дж/моль).

Дано:

• (k_1 = 3 \cdot 10^{-2} \, \text{с}^{-1}),
• (k_2 = 0,4 \, \text{с}^{-1}),
• (T_1 = 20 + 273 = 293 \, \text{K}),
• (T_2 = 50 + 273 = 323 \, \text{K}).

Найти (E_a).

Этап 1. Логарифм отношения констант скорости

Найдем (\ln(k_2 / k_1)):

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \ln\left(\frac{0,4}{3 \cdot 10^{-2}}\right) = \ln\left(\frac{0,4}{0,03}\right) = \ln(13,33). ]

Вычислим значение (\ln(13,33)): [ \ln(13,33) \approx 2,59. ]

Этап 2. Разность обратных температур

Теперь вычислим разность (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}):

[ \frac{1}{T_1} = \frac{1}{293} \approx 0,00341, ] [ \frac{1}{T_2} = \frac{1}{323} \approx 0,00310. ]

Разность: [ \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = 0,00341 - 0,00310 = 0,00031 \, \text{K}^{-1}. ]

Этап 3. Вычисление энергии активации

Подставляем найденные значения в уравнение Аррениуса:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right). ]

Переносим (R) и (\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)) в другую часть уравнения:

[ E_a = \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) \cdot R \cdot \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)^{-1}. ]

Подставляем значения: [ E_a = \frac{\ln(13,33) \cdot R}{\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}} = \frac{2,59 \cdot 8,314}{0,00031}. ]

Считаем числитель: [ 2,59 \cdot 8,314 \approx 21,53. ]

Теперь делим: [ E_a = \frac{21,53}{0,00031} \approx 69451 \, \text{Дж/моль}. ]

Ответ:

Энергия активации реакции составляет: [ E_a \approx 69,45 \, \text{кДж/моль}. ]

Для вычисления энергии активации (Ea) реакции можно использовать уравнение Аррениуса, которое связывает константу скорости реакции с температурой. Уравнение имеет вид:

[ k = A e^{-\frac{E_a}{RT}} ]

где:

• ( k ) — константа скорости,
• ( A ) — предэкспоненциальный фактор (частота столкновений),
• ( E_a ) — энергия активации,
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)),
• ( T ) — температура в Кельвинах.

Для вычисления энергии активации удобно использовать логарифмическую форму уравнения Аррениуса, которая позволяет сравнивать константы скорости при двух разных температурах:

[ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) ]

где:

• ( k_1 ) и ( k_2 ) — константы скорости при температурах ( T_1 ) и ( T_2 ) соответственно.

Даны:

• ( k_1 = 3 \times 10^{-2} \, \text{c}^{-1} ) при ( T_1 = 20 \, \text{°C} = 293 \, \text{K} ),
• ( k_2 = 0.4 \, \text{c}^{-1} ) при ( T_2 = 50 \, \text{°C} = 323 \, \text{K} ).

Сначала подставим значения в уравнение:

[ \ln\left(\frac{0.4}{3 \times 10^{-2}}\right) = \ln\left(\frac{0.4}{0.03}\right) = \ln(13.33) ]

Теперь вычислим натуральный логарифм:

[ \ln(13.33) \approx 2.564 ]

Теперь подставим это значение в уравнение:

[ 2.564 = -\frac{E_a}{8.314} \left(\frac{1}{323} - \frac{1}{293}\right) ]

Сначала вычислим разность обратных температур:

[ \frac{1}{323} - \frac{1}{293} = \frac{293 - 323}{323 \cdot 293} = \frac{-30}{94859} \approx -0.000316 ]

Теперь подставим это значение в уравнение:

[ 2.564 = -\frac{E_a}{8.314} \cdot (-0.000316) ]

Упростим уравнение:

[ 2.564 = \frac{E_a \cdot 0.000316}{8.314} ]

Теперь выразим ( E_a ):

[ E_a = \frac{2.564 \cdot 8.314}{0.000316} ]

Теперь вычислим ( E_a ):

[ E_a \approx \frac{21.31}{0.000316} \approx 67480 \, \text{Дж/моль} \approx 67.5 \, \text{kJ/моль} ]

Таким образом, энергия активации для данной реакции составляет приблизительно 67.5 кДж/моль.