Гелий массой 1 кг находится под давлением 80 кПа и имеет плотность 0,2 кг/м3.Определите внутреннюю энергию...

Чтобы определить внутреннюю энергию гелия, нужно воспользоваться уравнением состояния идеального газа и формулой для внутренней энергии. Гелий является благородным газом и может быть хорошо приближен к идеальному газу.

1. Определение количества вещества: Сначала определим количество вещества (моль) гелия. Используем формулу:

[ n = \frac{m}{M} ]

где:

• ( n ) — количество вещества (в молях),
• ( m ) — масса газа (1 кг),
• ( M ) — молярная масса гелия (4 г/моль или 0,004 кг/моль).

Подставим значения:

[ n = \frac{1 \text{ кг}}{0,004 \text{ кг/моль}} = 250 \text{ моль} ]

1. Определение температуры: Далее, воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

[ PV = nRT ]

где:

• ( P ) — давление (80 кПа = 80000 Па),
• ( V ) — объем,
• ( n ) — количество вещества (250 моль),
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)),
• ( T ) — температура в кельвинах.

Для начала найдем объем ( V ) газа, используя формулу плотности:

[ \rho = \frac{m}{V} \implies V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \text{ кг}}{0,2 \text{ кг/м}^3} = 5 \text{ м}^3 ]

Теперь подставим известные значения в уравнение состояния:

[ 80000 \text{ Па} \cdot 5 \text{ м}^3 = 250 \text{ моль} \cdot 8.314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot T ]

Решим уравнение для ( T ):

[ 400000 = 250 \cdot 8.314 \cdot T \implies T = \frac{400000}{250 \cdot 8.314} \approx 192.3 \text{ K} ]

1. Определение внутренней энергии: Для идеального газа внутреннюю энергию можно определить по формуле:

[ U = \frac{3}{2} nRT ]

Подставляем известные значения:

[ U = \frac{3}{2} \cdot 250 \cdot 8.314 \cdot 192.3 ]

Вычислим:

[ U = \frac{3}{2} \cdot 250 \cdot 8.314 \cdot 192.3 \approx 3 \cdot 250 \cdot 8.314 \cdot 96.15 \approx 3 \cdot 250 \cdot 800.44 \approx 600000 \text{ Дж} ]

Таким образом, внутренняя энергия гелия при данных условиях составляет примерно 600 кДж.

Для решения задачи по определению внутренней энергии гелия, воспользуемся основными уравнениями и физическими закономерностями.

Дано:

1. Масса гелия: ( m = 1 \, \text{кг} )
2. Давление: ( P = 80 \, \text{кПа} = 80 \cdot 10^3 \, \text{Па} )
3. Плотность: ( \rho = 0.2 \, \text{кг/м}^3 )

Найти: внутренняя энергия ( U ).

Ход решения:

1. Найдем объем газа.

Используем формулу для плотности: [ \rho = \frac{m}{V}, ] где ( V ) — объем газа. Выразим объем: [ V = \frac{m}{\rho}. ] Подставим известные значения: [ V = \frac{1}{0.2} = 5 \, \text{м}^3. ]

2. Определим температуру газа.

Гелий — это одноатомный идеальный газ, подчиняющийся уравнению состояния идеального газа: [ P V = n R T, ] где:

• ( n ) — количество вещества (моль),
• ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R = 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} )),
• ( T ) — температура (К).

Количество вещества ( n ) можно выразить через массу и молярную массу: [ n = \frac{m}{M}, ] где молярная масса гелия ( M = 4 \, \text{г/моль} = 0.004 \, \text{кг/моль} ). Тогда: [ n = \frac{1}{0.004} = 250 \, \text{моль}. ]

Теперь выразим температуру из уравнения состояния идеального газа: [ T = \frac{P V}{n R}. ] Подставим известные значения: [ T = \frac{(80 \cdot 10^3) \cdot 5}{250 \cdot 8.31}. ] Посчитаем численно: [ T = \frac{400 \cdot 10^3}{2077.5} \approx 192.5 \, \text{К}. ]

3. Найдем внутреннюю энергию.

Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой: [ U = \frac{i}{2} n R T, ] где ( i ) — число степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа (гелий) ( i = 3 ).

Подставим выражения: [ U = \frac{3}{2} n R T. ] Подставим значения ( n = 250 ), ( R = 8.31 ), ( T = 192.5 ): [ U = \frac{3}{2} \cdot 250 \cdot 8.31 \cdot 192.5. ] Сначала посчитаем произведение: [ 250 \cdot 8.31 \cdot 192.5 \approx 400068.75. ] Умножим на ( \frac{3}{2} ): [ U \approx \frac{3}{2} \cdot 400068.75 = 600103.13 \, \text{Дж}. ]

Ответ:

Внутренняя энергия гелия составляет приблизительно ( U \approx 600 \, \text{кДж} ).